Заглавная буква не нужна.
Эривань – существительное женского рода. Форма родительного падежа: Эривани.
Согласно орфографическим правилам корректно написание с прописной буквы только первого слова наименования: "Сердце столицы".
Столица Казахстана сейчас – Астана. А название города Алма-Ата (прежней столицы Казахстана) по-русски пишется именно так: Алма-Ата.
Да, запятая перед тире нужна.
Запятая нужна только в том случае, если оборот Расположенный в одном из престижнейших районов южной столицы имеет добавочное обстоятельственное значение (причинное: «Клубный дом» отвечает самым высоким требованиям, потому что он расположен в одном из престижнейших районов южной столицы), в этом случае после слова столицы будет пауза при чтении. Если такого оттенка значения нет (и нет паузы после слова столицы), запятая не нужна.