Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Запятая нужна.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
Запятую нужно поставить. В пунктуации это предложение будет рассматриваться как сложносочиненное с двумя безличными частями. В таких предложениях запятая не ставится, если форма сказуемых одинакова (ср.: С деревьев капало и вокруг пахло листвой; Необходимо рассмотреть авторские заявки и надо срочно составить по ним заключения). В Вашем предложении форма сказуемых разная.
Запятая нужна: Лучшего времени, чтобы начать заниматься, не будет.
Пунктуация верна.
Варианты "ей" и "ею" взаимозаменяемы.