Это выражение не является фразеологизмом.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Верно: остаться незамеченным.
Следует поставить тире: Каково это было — оставаться одному?
Запятая не требуется: Но всё же лучше таким людям оставаться в памяти.
Запятая не нужна.
Да, правильно слитное написание: с одиночными причастиями не пишется слитно.
Правильно: за бОртом.
Запятые в приведенном Вами предложении не нужны.
Правильно: И именно поэтому всё, что бы ты сегодня ни увидел, должно оставаться в тайне.