Сочетание круглый стол пишется без кавычек.
Оба варианта верны.
Сочетание круглый стол в кавычки обычно не заключается.
Оба варианта возможны.
Оба варианта корректны.
Правильно только класть.
Корректны второй и третий варианты (в значениях "когда я садился" и "когда я сел" соответственно).