Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).
Правильно: Васильевский остров.
Правильно: остров Короля Георга.
Кавычки нужны: отдел «Остров детства».
Корректно: парк "Лосиный Остров".
Предпочтительно: Остров, которого не видят туристы.
Если речь идет о названии фильма Мартина Скорсезе, снятого по одноимённому роману Денниса Лихэйна, то правильно: «Остров про́клятых».