Можно писать «вручили орден семье погибшего героя». Глагол вручить имеет значение "совершить передачу чего-л. непосредственно, лично кому-л. из рук в руки" и употребляется в случаях, когда подчёркивается либо акт передачи, либо важность передаваемого предмета.
Правильно: орден Отечественной войны I степени.
Странное выражение. Имеется в виду некий орган, управляющий культурой? Поясните, пожалуйста.
Корректно: регулирующий орган (регулятор).
С лексической и грамматической точки зрения — допустимы оба сочетания. Содержательные же отличия двух речевых оборотов лучше всего обсуждать со специалистами, например с психологами.
Можно поставить интонационное тире.
Правильно без кавычек: орден Славы.