Корректно: Дельфийские игры.

Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).

Да, это правильное написание.

Правильно: ...здание в Газетном переулке.

Корректно: младенец Иисус.

Следует писать строчными буквами.

Прописная и заглавная буква – это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчно/й.
Слово секретариат пишется с прописной буквы как первое слово официального названия организационно-руководящего органа международного объединения, например: Секретариат Совета Европы. В значении "отдел учерждения, организации; орган совещания, конференции и т. п." слово секретариат пишется со строчной буквы: секретариат съезда.

Со строчной. Заглавная и прописная - это одно и то же.

При официальном титуловании правильно: Патриарх Московский и всея Руси. Вне такого употребления слово патриарх пишется со строчной, например: патриарх Кирилл, прием у патриарха.

На основании предоставленной специалистами службы www.narkonet.ru консультации: «Воздержание (абстиненция) от наркотиков (как состояние организма) неоднозначно. Под этим выражением можно понимать состояние ремиссии - длительное воздержание от употребления наркотического средства без каких-либо выраженных болезненных проявлений - или то, что на жаргоне называется ломка, то есть крайне тягостное и болезненное состояние, возникающее после резкого прекращения употребления некоторых наркотических средств, а особенно наркотиков опийной группы (морфин, героин, кодеин и т. д.). Следует указать, что морфинная абстиненция либо под влиянием лечения, либо самостоятельно проходит в течение 8-15 дней. В Вашем случае, скорее всего, речь идет именно об острой абстиненции, то есть ломке».