Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).
Правильно здесь: надевать.
Такое выражение возможно в разговорной речи.
Правильно: побывать в святых местах.
См. «Словарь трудностей».
Корону надевают на кого-либо (точнее, возлагают на кого-либо).
См. в Словаре трудностей.