Прилагательное мечетный, образованное от существительного мечеть, фиксируется некоторыми словарями. Поэтому сочетания мечетный двор, мечетная роспись возможны, однако в речевой практике прилагательное мечетный употребляется редко, чаще используются конструкции двор мечети, роспись мечети.
Запятая нужна: Нельзя приготовить омлет, не разбив при этом пару яиц.
Запятая не нужна. Слова по замыслу вводными не являются.
Это не фразеологизмы: каждое слово в указанных сочетаниях употребляется с самостоятельным значением.
Корректно: Не врач решает, жить пациенту или умереть.