Да, правильно с прописной: Государственный секретарь.
Корректно написание со строчной буквы: так пишут в официальных документах, регламентирующих проведение ЕГЭ, и такова современная словарная фиксация.
Это сочетание пишется строчными буквами, если оно не является полным официальным названием документа.
Правильно написание с прописной.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Такого государственного документа нет.