Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Оба варианта верны.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?
Если имеется в виду, что людей учат водить мотоцикл, то верно: обучение вождению мотоцикла.
Верно: корпусы текстов.
Такое употребление – ошибка.
Все приведенные варианты возможны.
Корректно: в заочной форме.