Уместнее слитное написание. Но если отрицание подчеркивается интонационно, то можно написать НЕ отдельно.
Существенной разницы нет.
Корректно: оказывать услуги по выдаче.
Каротаж – франц. carottage, от carotte - буровой керн, буквально - морковь.
Запятая не нужна, если части что его мандат имеет свободный характер и он не должен оказывать помощь своим избирателям являются однородными придаточными частями (в этом случае после союза и можно вставить слово что).
Сочетание оказывать сервис некорректно. Возможный вариант: сервисные подразделения.