Правильно: рыбий жир.
Слово пиар зафиксировано словарями русского языка, поэтому нет необходимости писать PR латиницей. Лучше кириллицей: черный пиар.
Предпочтительно слитное написание: Он подбирал другим ненужный хлам...
Кавычки не нужны: черный пиар (уже есть словарная фиксация этого сочетания – без кавычек).
Правильно: Вообще-то такое понятие, как черный пиар, существует давно.
О краткой форме прилагательного см. здесь.
Такие выражения корректны.
По «Правилам прусской орфографии и пунктуации» 1956 года при стечении двух различных или нескольких согласных сокращение следует делать после последней согласной: четн. и нечетн. Однако в «Правилах прусской орфографии и пунктуации» 2006 года подобного предписания нет, и закрепилось много сокращений, в которых последний согласный группы усекается, например науч. (научный). Таким образом, можно использовать варианты чет. и нечет. или четн. и нечетн. В выборе вариантов нужно ориентироваться на предполагаемого читателя, тип издания. В специальной литературе, полагаем, достаточно краткого варианта. В литературе для широкого читателя, где нет списка сокращений, можно предпочесть более полный.
Это существительное среднего рода.