Верны оба варианта.
В зависимости от значения возможны оба варианта управления. Информацию о разных случаях см. в соответствующей статье толкового словаря.
Обычно для этого пользуются словарями.
Оба варианта верны.
См. в "Словаре трудностей".
Да, это слово входит в состав современного русского литературного языка. Но не во всех контекстах его употребление уместно. Глагол кушать используется в формулах вежливого приглашения к еде, а также по отношению к детям.