И пишут, и произносят. Дело в том, что произнесение предлога с перед сочетанием некоторых согласных затруднено. Поэтому перед сочетанием вт используется вариант предлога -со.
См. вопрос 296246.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...
Выбор предлога зависит от контекста, например: поехать в НПО, жалоба на НПО.
Если капусту квасили отдельно, а потом добавили свеклу, то верно: квашеная капуста со свеклой.
Знак препинания не нужен, т. к. для него нет оснований. Можно сравнить с близким по значению оборотом вместе с тем. Обратите внимание, что вкупе пишется слитно.
Пунктуация вариативна.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Оба варианта корректны. Правописание слов можно проверить в окне «Искать на Грамоте».