Лучше всего: филиал в Нижнем Новгороде.
Это две разных области, говоря официальным языком – два разных субъекта Российской Федерации. Административный центр Новгородской области – город Великий Новгород, административный центр Нижегородской области – город Нижний Новгород.
Слова Казань, Москва, Новгород, Кострома относятся к разным склонениям. О склонении существительных читайте в пособии Е. И. Литневской.
Правильно: Сначала я не поняла, при чём тут Нижний Новгород. Обособляется придаточное предложение.