Да, от глагола действительного залога класть образуется глагол страдательного залога класться, являющийся стилистически нейтральным. Например: чемодан кладется на нижнюю полку, на верхнюю полку чемодан не кладется.
Корректно: не нести ответственности за что-либо.
Корректно: Нужно успеть сделать что-то, прежде чем момент будет упущен.
См. здесь.
В словарях приведен второй вариант.
Вы написали правильно.
Дополнительные запятые в этой фразе не нужны.
Запятая не ставится, поскольку части сложносочиненного предложения объединены вопросительной интонацией.
Правильно только класть.