Если нет слова озеро, название склоняется: на берегах Иссык-Куля.
Пишем слитно.
Да, оба эти слова пишутся с прописной (большой) буквы при таком употреблении.
Географические названия в сочетании со словом озеро обычно не склоняются. Корректно: на берегу озера Наговье.
Да, это географическое название склоняется.
Тире в предложении нужно. Оно однозначно показывает, что сочетание в России входит в состав подлежащего, а не сказуемого. Без тире восприятие предложения будет затруднено. Ваше предложение можно подвести под правило: тире перед сказуемым-прилагательным ставится при логическом или интонационном членении предложения (Д. Э. Розенталь. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 5, п. 10.1). Обратите внимание: стилистически предложение небезупречно, так как и группа подлежащего, и группа сказуемого заканчиваются сочетанием предлога в с существительным со значением места. Предложение можно перестроить: Российское озеро Байкал самое глубокое в мире.
Вы правы, здесь нет оснований писать пекинский с большой буквы.
Местные жители говорят только на Тургояке́. Так как, по их мнению, ударение в некоторых татаро-башкирских топонимах второго склонения, где оно в именительном падеже стоит на последнем слоге (Чебарку́ль, Кисега́ч, Тургоя́к, Караба́ш, Аргая́ш), при употреблении этих топонимов в косвенных падежах должно смещаться на окончание: под Чебаркулём, с Кисегача́, в Карабаше́, на Тургояке́, из Аргаяша́. Такого же мнения придерживается и "Словарь собственных имён".