Правильно: в соответствии с условиями договора.
Да, домашним именем Катя называют и Катерину, и Екатерину.
В этой фразе слово Катя является обращением, поэтому оно должно обособляться: Добрый день, Катя. Обратите внимание: в конце можно поставить восклицательный знак.
В словарях разные рекомендации: мужской род (по родовому слову альянс), женский (родовое слово - организация) и средний. Единой нормы в данном случае нет.
Кавычки могут быть использованы.
В названиях с большой буквы пишется первое слово, а также имена собственные. Верно: "Лучший наряд".
Да, это действительно так. На вопрос «Кому?» верным будет ответ: «Натиа». И на вопрос «Кем?» – тоже. Натие, Натией – формы имени Натия.