Правильно со строчной.
Название должности премьер-министр пишется с прописной буквы в текстах официальных документов, например: Премьер-министр Соединенного Королевства. При неофициальном употреблении следует писать слово премьер-министр со строчной. Например, только со строчной можно писать премьер-министр России, т. к. официальное название этой должности в нашей стране – Председатель Правительства Российской Федерации.
Существительное Интернет пишется с прописной или строчной буквы, сложные слова с первой частью интернет... обычно пишутся строчными.
Да, правильно строчными: арабские страны.
Верно написание с большой буквы. См. здесь.
Верно написание со строчной: интернет-образование.