Оба варианта написания верны, однако расположение определения после определяемого слова (набор подарочный) соответствует только канцелярскому стилю речи. 

Правильно: борщовый набор.

1. Если речь идет о нескольких предметах, входящих в набор, то можно использовать обе формы сказуемого.

2. Правильнее было бы говорить о деталях изделия.

Общего правила нет. В каждом конкретном случае написание проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю).

Если это сочетание употребляется в прямом значении (набор для приготовления борща), кавычки не нужны. Если имеется в виду список продуктов, по росту цен на которые определяют уровень инфляции, кавычки уместны.

Правильно: небеса разверзались (инфинитив – разверзаться) или разверзлись (инфинитив – разверзнуться). См. словарную фиксацию.

Такая форма слова существует.