Верно в этом случае: Это подопечный нашего тренера.
Корректно: Где? В нашем центре.
Верно с тире (с отбивкой пробелами): Москва - столица нашей Родины.
Оба варианта возможны.
Запятая не нужна.
Корректно с предлогом от (т. е. имеется в виду, что налет образовался в результате воздействия никотина и выхлопных газов).