Мужская фамилия Грэй должна склоняться (Грэя, Грэю), женская фамилия не склоняется.

Корректно склонять.

Это имя склонять не следует.

Нет, женские фамилии, оканчивающиеся на согласный, не склоняются.

Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).

Да, эта фамилия склоняется: Нелейводы, Нелейводе и т. д.

Краткие прилагательные изменялись по падежам в древнерусском языке. Следы этого древнего склонения мы находим в сказках, былинах, пословицах: на добра коня садился; Сказка ― ложь, да в ней намек: добру молодцу урок. В современном русском языке краткие формы прилагательных не склоняются. Это языковое изменение было связано с тем, что изначально в древнерусском языке не было полных форм прилагательных, были только краткие. Появившиеся полные формы в литературном языке вытеснили краткие формы в позиции определения. Сейчас мы не скажем по чисту полю, богата человека – скажем по чистому полю, богатого человека. Краткие формы стали использоваться в составе сказуемого (например: Дом чист; Горница чиста; Человек богат) и – реже – как определения при подлежащем (Богат, хорош собою, Ленский везде был принят как жених), и поэтому все формы, кроме именительного падежа, перестали употребляться.