Правильно: оказать информационную поддержку конкурсу.
В словарях есть оба слова.
Правильно: 2-недельный отпуск.
Правильно: Евгении.
Сочетание нательное белье существует: нательный – надеваемый непосредственно на тело. Нательное белье – то же, что и нижнее белье.
Возможны второй и третий варианты.
Да, предпочтительно именно такое склонение, без выпадения гласного. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Апенка, Апенку и т. д. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
Д. п. - Мебонии.