Оба варианта верны.
Корректно: набор работников по различным специальностям, но на различные должности.
Правильно: Перечень учреждений, не приславших ответ на запрос.
Запятая не требуется.
Да, это название заключается в кавычки.
Корректно: чемпионат Франции по теннису «Ролан Гаррос». Обратите внимание на опечатку в слове теннис.