Мягкий знак писать не нужно.
Если это инфинитив, то верно: торопиться. Если это форма третьего лица, то верно: торопится.
Мягкий знак не нужен.
Мягкий знак поставлен правильно.
Мягкий знак не пишется в соответствии с произношением.
Январский - исключение (ср.: сентябрЬский, октябрЬский, ноябрЬский, декабрЬский). Видимо, мягкий знак "пропал" из-за отсутствия сочетания "брь" в слове январь.