Правильно: Государственный исторический музей, при неофициальном употреблении: Исторический музей.
Выражение пасхальный кулич корректно (ср.: рождественская елка).
Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.
Да, конечно.
Оба варианта возможны.
В названиях музеев с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Музей кукол, Государственный Русский музей, Государственный музей изобразительных искусств им. А. С. Пушкина.
Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.