Эти слова могут быть синонимами, но не в любом контексте. Подробнее см. в словарях.
Правильно: встать на носочки.
В толковых словарях русского языка слово пустить в таком значении не зафиксировано, поэтому приведенное Вами сочетание некорректно.
Можно сказать: очищать (улицу) от снега, убирать снег. Чистить снег - выражение, возможное в разговорной речи.
Корректно со строчной: стиль прованс.
Такое значение указано в «Большом толковом словаре», толковом словаре С. И. Ожегова и других.
Это неудачная калька с английского. Правильно: здоровый образ жизни.