Возможны два варианта: Дом моды Chanel и Дом моды "Шанель".
Оба варианта корректны.
Да, это имя будет склоняться (Мории, Мории, Морию, Морией, о Мории).
Верные варианты: в тренде юбки, в моде юбки. Остальные приведенные варианты избыточны.
Верно: такой же модный, как рок-н-ролл.
Оба варианта правильны.