Лучше: студент обучается на очном отделении.
Оба варианта возможны.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Двоеточие не нужно.
Приведите, пожалуйста, более обширный контекст.
Лучше первый вариант.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.