Варианты первый раз и в первый раз равноправны. Но именно в данном сочетании закрепился вариант первый раз.
Сочетание черный вход неупотребительно, при этом есть служебный вход.
Правильно со строчной.
Правильно: в первый день по прибытии.
Внутри фразы - нет.