Кавычки не требуются.
Последний отрывок (покупок всей семьей) кажется нам неудачным. Также плохо сочетание "излюбленный семьей".
Если это официальное название организации, то правильно: Центр досуга.
Как нарицательное наименование: дисконт-центр.
Предпочтительно: поедет.