Орфографически верно было бы медиагруппа, но теперь название надо писать так, как оно зарегистрировано в официальных документах.
Корректно без предлога. Возможно также: сплав чего с чем.
Пишется слитно: медиаюрист.
Первая часть сложных сло медиа... пишется слитно: медиастудия.
Склонение зависит от названия. Название «Газпром Медиа» не изменяется.
Первая часть сложных слов медиа... пишется слитно: медиапродукт, медиапроизводство, медиастудия.
Верно: на меди.
Верно слитное написание.