Можно и нужно. Подробнее см. в разделе «Азбучные истины».
Пишется со строчной буквы. Однако официально это не отделы, а управления (и каждое управление пишется с прописной). Структура есть на официальном сайте МВД РФ.
Правильно - так, как в паспорте соответствующего гражданина.
Да, эти и подобные названия склоняются.
См. в «Письмовнике».
Все эти названия склоняются. Подробнее в "Письмовнике".