Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).
Нет, следует использовать описательную конструкцию: жительница Панамы.
Склоняется.
Форма родительного падежа мн. числа: манатов.
Правильно: погодков.
Верно: со стороны Матисова канала.