Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.
Запятую нужно поставить.
В этом предложении ставить запятые не нужно.
Грамматически правильно: Девочка несётся через луг к ручейку, протекающему в низине. Но стилистически предложение неудачно.
Как стилистически окрашенное (разговорное) слово - возможно.
Это словосочетание с типом связи управление.
Двойные, тройные и т. д. нерусские (европейские, американские) составные имена пишутся раздельно, поэтому правильно: Жак Луи Давид.