Правильно: искать глазами.
Правильно: искал в сотнях источников.
Кавычки не нужны.
Возможны оба варианта.
Да, вторая часть названия склоняется. Правильно: достопримечательности Папуа – Новой Гвинеи.
Правильно: Аллин папа.
Верно: Была пара моментов.
Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной: папа римский Иоанн Павел II, выборы папы римского.