Правильно без кавычек: агентство Рейтер.
Верное написание: мисс Геймер, вице-мисс Геймер.
Ошибки нет. А каков контекст и в чем трудность?
Мужская фамилия Регнер склоняется.
Правильно: рэпер.
Орфографический словарь
Мужские фамилии склоняются, соотносительные женские – нет.