Запятую ставить не надо.
Верно: Родители уверены, что вина лежит на нем.
Верны оба варианта.
Они информировали, у кого что где лежит.
Верно: мы лежим, грустим... В смысле "завтра наступил"?
Вы корректно расставили знаки препинания.
См. в Письмовнике.