Правильно: над горАми.
Верно: валАми.
Все три варианта возможны с точки зрения грамматики.
Все верно.
Словари дают разные рекомендации: в одних это слово фиксируется как слово муж. рода, в других — как ср. рода, в третьих — как муж. и ср. Поэтому возможны оба варианта: горячее татами и горячий татами.
Правильно: смотреть широко открытыми глазами.
Оба варианта корректны.