Запятую в этом случае нужно поставить.
Предложение Череповец выбрал мэра тоже верное, в нем используется метонимия.
Конечно, из Кореи. См. ответ на вопрос №312593.
Правильно: стрижка каре.
Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), имя композитора не склоняется: (балеты) Кара Караева.
В этой фразе не требуется постановка дополнительных знаков препинания.