Вы рассуждаете верно. На наш взгляд, здесь причастие может стоять только в единственном числе.

Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» на нашем портале.

Первое сочетание можно написать и в кавычках, и без: рукава «летучая мышь» и рукава летучая мышь. Выбор может быть обусловлен тем, знакома или нет предполагаемая читательская аудитория с различными фасонами рукавов, знакомо ли ей сочетание летучая мышь как термин. Второе сочетание лучше писать через дефис как определяемое слово и согласованное приложение: рукава-фонарики.

Такого фразеологизма в русском литературном языке нет.

Возможно как слитное, так и раздельное написание.

Выбор предлога зависит от того, как именно упала стрела. Если она погрузилась в трясину (представим, что из болота торчит только кончик стрелы), тогда: упала в болото. Если же стрела аккуратно легла на какую-то кочку на поверхности болота и там осталась, тогда: на болото.

Пальто – несклоняемое существительное: купила два пальто.

Правильно: день Ивана Купалы.

Правильно: купина, неопалимая купина.