В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Правильно: улица Красный Казанец. См.: Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имён русского языка. М., 2010 (электронная версия – на нашем портале).
Сочетание красный диплом пишется без кавычек.
Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню").
Оба варианта нормативны.
Имена ряда исторических лиц (правителей, военачальников и др.) и названия исторических событий сокращать не принято.
Правилен второй вариант. Подробнее о склонении названий городов и уместности употребления при них слова город (г.) см. в «Письмовнике».