Правильно (с зависимыми словами): тушенное.
Возможен такой вариант: Клиника принимает пациентов – домашних любимцев – в любое время суток.
Действительно, есть нестыковка в определениях. Хотя в хосписе могут исследоваться методы медико-социальной и психологической помощи.
Кавычуки нужны при наличии родового слова. Например: ГБУЗ "Клиника Николаевская".
С прописной буквы пишутся все слова, кроме слова "год".