Правильно: к врачу.
Каплет дождь, каплют слезы. Из крана - капает.
Правильно: к врачу.
Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. В противном случае употребляется форма множественного числа. При написании первая авария, кража, растрата поймет ли читатель, что прилагательное первая относится ко всем трем существительным? Если в этом есть сомнения, лучше написать первые.
Правильно: к врачу.
Да, склоняется.
После к врачу ставится запятая.