Верно: переговорная, переговорная комната.
В зависимости от контекста могут употребляться все три варианта. Обратите внимание, что посередине в значении "в центре" пишется слитно.
Корректно без кавычек: Красная книга России.
Как индвивидуальное название - возможно, но как общепринятое нарицательное наименование - вряд ли.
К сожалению, такой фразеологизм нам неизвестен. В каком контексте он Вам встретился?
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). Тире в таких предложениях ставится при наличии паузы. Без паузы — не ставится.
См. ответ на вопрос № 282511.
Если это полное предложение, то верен второй вариант.