Следует писать с дефисом (контр-я) по аналогии с зафиксированным сверх-я.
Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
Обратитесь на сайт www.familii.ru.
Корни: жи..., бы...
Словарной фиксации нет. Думаем, лучше употреблять слово карри как существительное мужского рода (по родовому слову соус).
Правильно без кавычек: стиль кантри.