В этом случае возможно склонение без выпадения гласной: доверяю Косовецу.
Оба варианта возможны.
Если нарицательные существительные в составных географических названиях употреблены не в своем собственном значении, то они пишутся с прописной: Дорога Костей, Дом Чудаков.
Да, это традиционное (словарное) написание.