Верно: бюстгальтер на косточках (со вшитыми жесткими дужками).
В словарях есть только кострИще - место, где был костер.
В словарях (например, в "Искать на Грамоте" на нашем портале) в этом значении отмечено слово кострище.
Орфографических ошибок нет.
Без родового слова возможны варианты. Подробнее см. в «Письмовнике».