Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Судить о грамотности этого выражения можно только в более полном контексте.
Сочетание избыточно. Возможный вариант: внутренняя жизнь компании.
Падежи верны.
Вы написали верно.